Alle kender det sikkert – at det umulige sker.
Jeg stod for nylig på Lyngby Station, da en kvinde spurgte efter nedgangen til metroen. Det viste sig, at jeg havde trænet hendes søn i håndbold i Sønderborg.
At en jyde rejser til sjælland og spørger efter metroen i Lyngby – fair nok, det lyder plausibelt.
Men tænk på, at siden vi begge stod op den morgen, bevægede vi os mod dette møde. Hvis blot én af os var blevet forsinket ét minut i løbet af dagen, ville mødet aldrig have fundet sted.
Hvorfor sker det umulige en gang imellem?
Årsagen er, at vi på forhånd danner os et billede af, hvordan verden plejer at fungere. Når noget ikke harmonerer med disse forventninger og bryder med mønsteret, føles det næsten som et mirakel.
Omvendt er den statistiske sandhed er, at selv om sandsynligheden for noget er meget lille, vil det før eller siden ske. Dertil kommer at vi ofte undervurderer sandsynligheden.
Jeg vil bruge ”fødselsdagsparadokset” til at illustrere dette.
De fleste bliver overrasket når de møder en person, med samme fødselsdag som en selv. Intuitivt kunne man tro, at man næsten skulle mødes 366 personer, før det blev sandsynligt, at to havde samme fødselsdag.
Men statistisk er chancen allerede over 50%, når 23 personer mødes, og over 97%, når 50 personer mødes.
Hvordan er regnestykket?
Forestil dig en skål med 366 numre, svarende til årets forskellige fødselsdage.
Den første person trækker et nummer – en fødselsdag – og lægger nummeret tilbage.
Når den næste person rækker hånden ned i skålen, er der 365 ud af 366 fødselsdage, som endnu ikke er blevet trukket.
Sandsynligheden for, at personen trækker en ledig fødselsdag, er derfor 365/366 = 0,997, altså 99,7% chance.
Når den tredje person skal trække, er der nu kun 364 ledige fødselsdage blandt de 366.
Sandsynligheden for, at der trækkes en ledig fødselsdag, er nu mindre: 364/366 = 0,9945, altså 99,45%.
Nu kommer det afgørende punkt. Den tredje person har ganske vist 99,45 % sandsynlighed for at trække en ledig fødselsdag, men sandsynligheden for, at alle tre personer i rap har trukket forskellige fødselsdage, er lavere.
Når man skal beregne sandsynligheden for, at alle tre har trukket forskellige fødselsdage, ganger man sandsynlighederne sammen:
366/366 × 365/366 × 364/366 = 0,992 = 99,2%
Efterhånden som flere personer trækker fra skålen, falder sandsynligheden for, at alle fortsat trækker en ledig fødselsdag, meget hurtigt. Der bliver færre ledige fødselsdage tilbage, og derfor bliver det mere og mere sandsynligt, at to personer trækker den samme fødselsdag.
Det er netop derfor, at chancen for et sammenfald overstiger 50%, allerede når der er 23 personer mødes, og chancen er over 97% ved 50 personer.
Næste graf viser hvordan chancen udvikler så i takt med antal personer:
Ikke nok med det!
Det viser sig, at fødselsdage ikke er fordelt ligeligt på året – følgende graf viser fordelingen af fødselsdage på året:
Det er tydeligt, at færre har fødselsdag i 4. kvartal, og koncentrationen på de øvrige kvartaler øger der sandsynligheden for sammenfald i fødselsdage.
Årsagen til, at markant flere har fødselsdag den 1. januar og den 1. juli, er, at disse datoer bruges ved registrering af personer, hvis nøjagtige fødselsdag ikke kendes.
Næste gang du er til et selskab med mere end 23 personer, så overvej et væddemål om, hvorvidt der er mindst to personer med samme fødselsdag. Og hvis du ved, at en af deltagerne har fødselsdag den 1. januar eller 1.juli, kan du satse lidt mere!
I filmen Dum og dummere erklærer Lloyd (Jim Carrey) sin kærlighed til Mary (Lauren Holly).
Hun forklarer ham, at chancen for, at de bliver kærester, er én ud af en million.
Det giver selvfølgelig håb for Lloyd…så længe at der er en statistisk sandsynlighed, så kan det ske!
